Магнитостатика. Запрягаев С.А. - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

18
Пример 1.4.1. Доказать, что вид формулы (71) не изменится в
результате градиентных преобразований векторного потенциала
~
A
0
=
~
A + gradχ.
По определению
ε =
1
2c
Z
(
~
j ·
~
A
0
) dv =
1
2c
Z
(
~
j · (
~
A − gradχ)) dv =
=
1
2c
Z
(
~
j ·
~
A) dv −
1
2c
Z
(
~
j · gradχ) dv =
1
2c
Z
(
~
j ·
~
A) dv −
1
2c
Z
div(χ
~
j) =
=
1
2c
Z
(
~
j ·
~
A) dv −
1
2c
I
S
χ · (
~
j d
~
s).
Для ограниченных токов нормальная составляющая тока равна нулю
на поверхности S, ограничивающей систему токов. Таким образом,
поверхностный интеграл в последнем выражении равен нулю, и
следовательно, инвариантность формулы (71) относительно градиентных
преобразований доказана.
Пример 1.4.2. Шар радиуса R, равномерно заряженный с объемной
плотностью ρ, вращается вокруг своей оси симметрии с постоянной
угловой скоростью ~ω. Вычислить энергию магнитного поля шара (см.
задачу 221 в [1]).
Решением задачи о поле шара являются следущие выражения для точек,
лежащих внутри шара (r ≤ R) :
B
r
= β(
R
2
3
−
r
5
5
) cos θ, B
θ
= β(
2r
2
5
−
R
2
3
) sin θ, B
ϕ
= 0. (80)
Здесь B
r
, B
θ
, B
ϕ
- составляющие вектора индукции магнитного поля вдоль
единичных векторов сферической системы координат, β = 4πρω/c. Для
точек вне шара поле равно :
~
B =
3(~µ ·
~
n) ·
~
n − ~µ
r
3
, (81)
где µ = βR
5
/15-магнитный момент шара, направленный вдоль оси
вращения. Подставляя (80), (81) в (70), находим:
ε =
β
2
8π
{
Z
R
0
Z
π
0
Z
2π
0
[(
R
2
3
−
r
2
5
) cos
2
+(
2r
2
5
−
R
2
3
) sin
2
]r
2
dr sin θ dθ dϕ+
+
Z
∞
R
Z
π
0
Z
2π
0
(
R
5
15
)
2
3 cos
2
θ + 1
r
6
r
2
dr sin θ dθ dϕ} =
10µ
2
7R
3
. (82)

Страницы