ВУЗ:
Составители:
11
следует лишь заменить блок вычисления средней точки на блок
вычислений по формуле (1.7).
Отметим, что метод половинного деления имеет второе название –
метод бисекции, а метод ложного положения – метод хорд.
Методы половинного деления и ложного положения помимо
медленной сходимости обладают и другими недостатками. Очевидно, что
они не позволяют найти корни, в которых функция )(
x
f
не пересекает ось
x, а лишь касается ее. Напротив, этими методами вместе с корнями
определяются и точки разрыва функции, если при переходе через них
функция меняет знак. В этом случае программа с выходом из
итерационного цикла по условию
ε
<|)(| c
f
должна предусматривать
прекращение вычислений при превышении числом итераций максимально
допустимого значения
max
I . Если же в программе используется условие
уменьшения ширины интервала локализации корня до заданной
погрешности решения, то после окончания итераций следует убедиться в
малости значения |)(| c
f
. В противном случае найденное значение c
следует считать точкой разрыва функции.
Тем не менее, гарантированная сходимость обеспечивает методам
половинного деления и ложного положения достаточно широкую область
применения. Например, многие программы решения нелинейных
уравнений начинают вычисления методом половинного деления, а затем,
когда корень локализован в достаточно узкой области, уточняют его
положение быстро сходящимся методом.
1.4. Метод Ньютона и метод секущих
Метод Ньютона является, пожалуй, самым популярным методом
решения нелинейных уравнений. В нем для вычисления каждого
следующего приближения к корню используется экстраполяция функции с
помощью касательной к кривой в текущей точке.
Пусть
n
x – текущее приближение к корню
r
x и
nr
xxx −=∆ . Тогда
можно записать следующее разложение функции )(
x
f
в ряд Тейлора:
...)(
2
1
)()()()(
2
+∆
′′
+∆
′
+=∆+= xxfxxfxfxxfxf
nnnnr
. (1.8)
С учетом того, что
0)( =
r
xf , получим
0...)(
2
1
)()(
2
=+∆
′′
+∆
′
+ xxfxxfxf
nnn
. (1.9)
Выражение (1.9) представляет собой одну из форм записи уравнения (1.1).
Она удобна тем, что можно находить приближенные решения,
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- …
- следующая ›
- последняя »
