ВУЗ:
Составители:
12
ограничиваясь конечным числом слагаемых в левой части (1.9). С учетом
двух слагаемых находим приближение вида
)(
)(
)1()1(
n
n
nr
xf
xf
xxx
′
−=−=∆ .
Если теперь точку
)1(
r
x взять в качестве следующего за
n
x уточнения корня,
то получим итерационную формулу метода Ньютона:
)(
)(
1
n
n
nn
xf
xf
xx
′
−=
+
. (1.10)
Аналогичная формула была получена Рафсоном, но чуть позже Ньютона –
в 1690 году. Поэтому метод часто называется методом Ньютона-Рафсона.
Итерационный процесс по формуле (1.10) продолжается до тех пор,
пока разность ||
1 nn
xx −
+
не достигнет заданной погрешности решения или
значение |)(|
1+n
xf не уменьшится до заданной величины. Блок-схема
алгоритма метода Ньютона имеет тот же вид, что и приведенная на рис. 1.3
блок-схема алгоритма метода простой итерации. В ней лишь следует
считать, что
)(
)(
)(
n
n
nn
xf
xf
xxg
′
−= .
Нетрудно показать, что геометрически
1+n
x интерпретируется как
точка пересечения оси x касательной к кривой )(
x
f
y = в точке
n
x (рис.
1.6). Отсюда и второе название метода Ньютона – метод касательных.
Рис. 1.6. Метод Ньютона Рис. 1.7. Расходимость метода Ньютона
Совершенно очевидно, что сходимость метода в большой мере
зависит от удачного выбора начального приближения
0
x . Рис. 1.7 отражает
ситуацию, когда итерации по методу Ньютона уводят от корня уравнения.
Можно представить и другие ситуации, например, осцилляции
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- …
- следующая ›
- последняя »
