Численные методы для физиков. Нелинейные уравнения и оптимизация. Зайцев В.В - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

13
последовательных приближений в окрестности точки, не являющейся
корнем.
Тем не менее, если начальное приближение выбрано в ближайшей
окрестности корня, то метод обеспечивает квадратичную сходимость
итерационного процесса. Именно это свойство придает методу Ньютона
особое значение.
Наличие у метода квадратичной сходимости можно установить
следующим образом. Вновь воспользуемся разложением функции )(
x
f
в
ряд Тейлора в окрестности точки
n
x :
2
))((
2
1
))(()()(
nnnn
xxxfxxxfxfxf −
′′
+−
′
+=
∗
Это разложение, в отличие от (1.8), является точным, т.к. в нем
используется некоторая точка
∗
x , про которую известно лишь то, что она
расположена между x и
n
x . Положив в нем
r
xx = , получим
0))((
2
1
))(()(
2
=−
′′
+−
′
+
∗ nnnn
xxxfxxxfxf .
Разделим теперь это равенство на )(
n
xf
′
и преобразуем результат к виду
()
2
)(2
)(
)(
)(
nr
nn
n
nr
xx
xf
xf
xf
xf
xx −
′
′′
−=
′
−−
∗
.
Левая часть полученного выражения, согласно итерационной формуле
метода (1.10), есть
1+
−
nr
xx . Тогда мы можем записать
2
1 nrnr
xxCxx −=−
+
,
где
)(2)(
n
xfxfC
′′′
=
∗
. А это равенство совершенно определенно
указывает на квадратичную сходимость итерационного процесса (1.10).
Однако необходимо уточнение: метод Ньютона имеет квадратичную
скорость сходимости в окрестности простого (однократного) корня. Если
корень кратный, то метод Ньютона сходится гораздо медленнее – линейно.
Помимо возможных затруднений с выбором начального приближения
у метода Ньютона есть еще один недостаток – необходимость задания
производной )(xf
′
в аналитической форме. Если функция )(
x
f
сложна, то
аналитическое дифференцирование сопряжено со значительными
техническими трудностями. Еще большие проблемы возникают, когда
)(
x
f
вообще не задана аналитически, например, ее значения являются
результатом вычислений по некоторому алгоритму. Этот недостаток
ограничивает область практического применения метода Ньютона. Один
из способов его преодоления состоит в аппроксимации производной
)(
n
xf
′
конечными разностями. Например, можно использовать

Страницы