Численные методы для физиков. Нелинейные уравнения и оптимизация. Зайцев В.В - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

15
Проблема выбора начального приближения для метода секущих столь
же актуальна, что и для метода Ньютона. Причем, в отличие от метода
Ньютона (1.10), использующего для вычисления
1+n
x только одно
предыдущее приближение
n
x и поэтому являющегося одношаговым, метод
секущих, как это следует из формулы (1.13), – двухшаговый метод. Для
начала поиска корня теперь требуется уже не одна начальная точка
0
x , а
две –
0
x и
1
x . Однако это усложнение задачи не является существенным.
Как правило, если выбор точки
0
x обеспечивает сходимость метода
Ньютона, то за
1
x можно взять любую близкую точку.
Скорость сходимости итерационного процесса (1.13) ниже, чем у
итераций по методу Ньютона. Показано, что метод секущих сходится к
простому корню сверхлинейно со скоростью
618.12/)51( =+=
α
. Тем не
менее, эта скорость достаточно высока для того, чтобы обеспечить методу
широкую область применения. Современные компьютерные программы
часто основаны на полиалгоритмах, представляющих собой комбинации
двух или более методов. Например, вначале используется метод
половинного деления, с помощью которого вычисления ведутся до тех
пор, пока приближение не окажется настолько близко к корню, что будет
сходиться метод секущих. После этого для ускорения сходимости
вычисления продолжаются методом секущих.
1.5. Метод Стеффенсена и ускорение сходимости Эйткена
Скорость сходимости метода секущих можно повысить, если вместо
аппроксимации производной )(
n
xf
′
выражением (1.12) использовать
выражение
nn
nn
n
xx
xfxf
xf
−
−
≈
′
+
+
1
1
)()(
)( . (1.14)
Его можно интерпретировать как аппроксимацию правой разностью, если
формально считать, что в (1.12) используется левая разность.
В выражение (1.14) входит еще не найденное значение
1+n
x . Вычислим
его, применив алгоритм простой итерации (1.2):
)()(
1 nnnn
xfxxgx +==
+
.
В результате мы получим аппроксимацию
()()
()
n
nnn
n
xf
xfxfxf
xf
−+
≈
′
)(
)(,
использование которой в методе Ньютона (1.10) приводит к новому

Страницы