Численные методы для физиков. Нелинейные уравнения и оптимизация. Зайцев В.В - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

17
Для примера применения ускорения Эйткена рассмотрим
последовательность приближений к двукратному корню 2=
r
x уравнения
0128
23
=+−−
x
x
x
, полученную методом Ньютона. Значения элементов
последовательности размещены во втором столбце таблицы 1.1.
Таблица 1.1
n
n
x ||||
1 rnrn
xxxx −−
− n
ξ
||||
1 rnrn
xx −−
−
ξ
ξ
0 0.5 - - -
1 1.454545 0.363636 - -
2 1.745059 0.467391 1.872159 -
3 1.876049 0.486197 1.983607 0.128232
4 1.938822 0.493563 1.996588 0.208141
5 1.969602 0.496884 1.999213 0.230676
6 1.984847 0.498466 1.999811 0.240656
7 1.992435 0.499239 1.999954 0.245400
8 1.996221 0.499621 1.999988 0.247717
9 1.998111 0.499811 1.999997 0.248863
10 1.999056 0.499905 1.999999 0.249432
11 1.999528 0.499953 2.000000 0.249717
12 1.999764 0.499976 2.000000 0.249856
13 1.999882 0.499988 2.000000 0.249948
14 1.999941 0.499994 2.000000 0.250448
Далее, в третьем столбце таблицы приведены значения константы C в
неравенстве (1.6), рассчитанные для каждой итерации в предположении о
сходимости со скоростью 1=
α
. Как видно из приведенных результатов,
константа C мало меняется в ходе итерационного процесса и очень близка
к значению 5.0=
C
. Следовательно, предположение о линейной
сходимости метода Ньютона к двукратному корню справедливо.
Применив к линейно сходящейся последовательности
n
x формулу
ускорения (1.17), получим значения
n
ξ
, помещенные в четвертый столбец
таблицы 1.1. Из сопоставления второго и четвертого столбцов таблицы
следует вполне однозначный вывод о том, что ускорение сходимости
достигнуто. Действительно, дойдя, например, до седьмой итерации метода
Ньютона и применив ускорение Эйткена, мы получим примерно тот же
результат, что и после четырнадцати итераций метода Ньютона. Пятый
столбец таблицы 1.1 указывает на то, что в данном примере ускорение
сходимости получено не за счет роста показателя скорости
α
(он по-
прежнему равен единице), а за счет уменьшения константы C до значения
25.0=
C
.
Проанализируем теперь возможность ускорения сходимости

Страницы