ВУЗ:
Составители:
18
последовательности приближений к корню в методе простой итерации.
Используя разложение в ряд Тейлора, правую часть итерационной
формулы )(
1 nn
xgx =
+
можно представить в виде
()
()
2
)())(()()(
rnrnrrrnrn
xxOxxxgxxxxgxg −+−
′
+=−+= ,
после чего формула записывается как
()
2
1
)())((
rnrnrrn
xxOxxxgxx −+−
′
=−
+
.
Таким образом, с точностью до квадрата ошибки
rnn
xxe −= на каждой
итерации можно записать приближенное равенство
))((
1 rnrrn
xxxgxx −
′
≈−
+
,
из которого следует, что последовательность
n
x задается формулой
[]
)()(
0 r
n
rrn
xxxgxx −
′
+≈
и имеет почти тот же тип сходимости, что и последовательность (1.16).
Значит, последовательность приближений к корню в методе простой
итерации вполне подходит для применения процедуры ускорения
сходимости.
При применении процедуры ускорения целесообразно каждое
улучшенное значение сразу же вводить в расчеты, чтобы в последующих
вычислениях оно уже было учтено. На каждом шаге итерации это
выглядит следующим образом. Пусть вычисления доведены до значения
n
x ; по нему вычисляем два вспомогательных значения )(
)1(
nn
xgx = и
()
)(
)2(
nn
xggx = . К трем значениям
n
x ,
)1(
n
x и
)2(
n
x применяем формулу
ускорения (1.17) и результат принимаем за следующее приближение
1+n
x :
()
()
nnn
nnn
n
xxgxgg
xgxggx
x
+−
−
=
+
)(2)(
)()(
2
1
. (1.18)
Нетрудно показать, что полученное равенство есть просто одна из форм
записи итерационной формулы Стеффенсена (1.15).
Формулу (1.18) можно применить и к решению задачи о поиске
двукратного корня уравнения 0128
23
=+−−
x
x
x
. Положив
)()()( xfxfxxg
′
−= , что соответствует итерациям Ньютона, в результате
расчетов по формуле (1.18) получим последовательность {0.5; 1.87215909;
1.99916211; 1.99999996; 2.00000000}. Сравнив ее с последовательностью
n
ξ
из четвертого столбца таблицы 1.1, видим, что эффект возрастает, если
ускорение вводить не в последовательность, а в алгоритм с помощью
которого она получена.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 16
- 17
- 18
- 19
- 20
- …
- следующая ›
- последняя »
