ВУЗ:
Составители:
19
1.6. Метод обратной квадратичной интерполяции
Как следует из названия, в этом методе для определения нового
приближения к корню уравнения 0)( =
x
f
используется квадратичная
интерполяция функции )(
y
g
x
= , обратной по отношению к функции
)(
x
f
y = . Так как для интерполяции полиномом второй степени
необходимы три точки на плоскости
()
yx,, то выберем их из трех
последовательных приближений к корню:
()()
)(,,)(,
111222 −−−−−−
==
kkkkkk
xfyxxfyx и
()
)(,
kkk
xfyx = .
В таком случае интерполяционный полином Лагранжа записывается в виде
.
))((
))((
))((
))((
))((
))((
)(
122
12
211
21
21
21
2
−−−
−−
−−−
−−
−−
−−
−−
−−
+
+
−−
−−
+
−−
−−
=
kkkk
kkk
kkkk
kkk
kkkk
kkk
yyyy
yyyyx
yyyy
yyyyx
yyyy
yyyyx
yP
(1.19)
Дальнейшее использование этого полинома основано на следующих
соображениях. Если бы была известна функция )(
y
g
x
= , то нахождение
корня свелось бы к простому вычислению
)0(
gx
r
= .
Но задача поиска обратной функции почти всегда более сложна, чем
решение уравнения. Можно лишь предложить замену )(
y
g
полиномом
)(
2
yP в окрестности корня. Тогда есть основания ожидать, что, вычислив
значение )0(
2
P , мы получим новое приближение к корню исходного
уравнения: )0(
21
Px
k
=
+
.
Таким образом, в соответствии с выражением (1.19), итерации в методе
обратной квадратичной интерполяции следует проводить по формуле
.
))((
))(())((
122
21
211
12
21
21
1
−−−
−−
−−−
−−
−−
−−
+
−−
+
+
−−
+
−−
=
kkkk
kkk
kkkk
kkk
kkkk
kkk
k
yyyy
xyy
yyyy
xyy
yyyy
xyy
x
(1.20)
Скорость сходимости итерационного процесса в методе обратной
квадратичной интерполяции равна 839.1=
α
, что несколько выше, чем в
методе секущих. Однако для начала расчетов необходимо выбрать три
начальных значения
210
,, xxx , и если они выбраны неудачно, то поведение
алгоритма может оказаться хаотическим.
Квадратичная интерполяция используется также в
методе Мюллера.
Но при этом интерполируется не обратная функция )(
y
g
x
= , а прямая –
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 17
- 18
- 19
- 20
- 21
- …
- следующая ›
- последняя »
