ВУЗ:
Составители:
16
итерационному алгоритму
()()
)(
)(
)(
1 n
nnn
n
nn
xf
xfxfxf
xf
xx
−+
−=
+
, (1.15)
известному в численном анализе как
метод Стеффенсена.
Метод Стеффенсена имеет квадратичную сходимость, но высокая
скорость сходимости достигается за счет дополнительного вычисления
значения
()
)(
nn
xfxf + . На каждой итерации метод требует двух
вычислений функции. По этому критерию метод Стеффенсена менее
эффективен, чем метод секущих.
Итерационный алгоритм (1.15) можно получить также в рамках
предложенного Эйткеном способа ускорения сходимости линейно
сходящихся последовательностей.
Рассмотрим последовательность
n
n
Cqzz += . (1.16)
При 1|| <
q эта последовательность сходится к пределу z. Нетрудно
построить преобразование, которое позволяло бы выразить предельное
значение
z через три элемента последовательности
nn
zz ,
1−
и
1+n
z .
Действительно, два очевидных равенства,
q
zz
zz
n
n
=
−
−
−1
и q
zz
zz
n
n
=
−
−
+1
,
приводят к равенству
2
11
)())(( zzzzzz
nnn
−=−−
−+
, из которого следует
11
2
11
2
−+
−+
+−
−
=
nnn
nnn
zzz
zzz
z .
В соответствии с этим результатом рассмотрим предложенное
Эйткеном преобразование произвольной последовательности
n
z в другую
последовательность
11
2
11
1
2
−+
−+
+
+−
−
=
nnn
nnn
n
zzz
zzz
ξ
. (1.17)
Если применить это преобразование к любой последовательности вида
(1.16), то при любом значении n будет иметь место равенство
n
n
n
zz
∞→
== lim
ξ
. Можно ожидать, что, если последовательность
n
x будет
иметь близкий к (1.16) тип сходимости, то преобразование (1.17), хотя и не
будет при любом n давать ее предел, но все же приведет к новой
последовательности, сходящейся к z быстрее, чем исходная.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 14
- 15
- 16
- 17
- 18
- …
- следующая ›
- последняя »
