Численные методы для физиков. Нелинейные уравнения и оптимизация. Зайцев В.В - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

5
название трансцендентного. В большинстве случаев алгебраические и
трансцендентные уравнения решаются одними и теми же численными
методами. Хотя для решения алгебраических уравнений разработаны и
специальные методы, основанные на использовании свойств корней
полиномов.
В подавляющем большинстве методы решения нелинейных
уравнений являются итерационными, т.е. алгоритм решения заключается в
многократном повторении некоторой вычислительной процедуры.
Полученное таким образом решение всегда является приближенным, но
может быть сделано сколь угодно близким к точному. Для начала расчетов
итерационным методом требуется задание начального приближения корня
или границ области его локализации. Обычно эта проблема решается на
основе физических соображений или графически.
Отметим также, что в вычислительной практике блок решения
нелинейных уравнений часто является составной частью более сложных
алгоритмов.
1.2. Метод простой итерации
Рассмотрение методов численного решения нелинейных уравнений
начнем с простейшего – метода простой итерации. Для его применения
уравнение (1.1) представляется в виде
)(
x
g
x
= ,
где ),()(
x
f
x
x
g
+= и итерации проводятся по формуле
)(
1 nn
xgx =
+
. (1.2)
Простота программной реализации алгоритма (1.2) является главным
достоинством метода простой итерации.
На рис. 1.2 дана геометрическая интерпретация метода. В системе
координат ),( y
x
построены графики функций )(
x
g
y = и
x
y = . Абсциссы
точек пересечения этих линий соответствуют корням уравнения (1.1). Если
имеется начальное приближение
0
x , то на графике )(
x
g
y = легко
находится точка ))(,(
00
xgx . Проведя через нее прямую
1
xy =
до
пересечения с прямой
x
y = , получим точку ))(,(
01
xgx . Абсцисса этой
точки
1
x дает первое приближение к решению. Затем на графике )(
x
g
y =
находится точка ))(,(
11
xgx , а на графике
x
y = – точка ))(,(
12
xgx . Ее
абсцисса является вторым приближением. Итерации продолжаются до тех
пор, пока величина ||
1 nn
xx −
+
не достигнет заданной точности решения.

Страницы