ВУЗ:
Составители:
8
известный как метод Ньютона. Но вопрос о сходимости алгоритма все же
остается открытым.
1.3. Методы половинного деления и ложного положения
Эти методы гарантируют сходимость итерационного процесса, если
найден интервал локализации корня, т.е. отрезок ],[
1+nn
xx такой, что
значения )(
n
xf и )(
1+n
xf имеют разные знаки. Поиск интервала
локализации, как правило, не вызывает затруднений и проводится путем
вычисления значений функции )(
n
xf для последовательности значений
аргумента nhxx
n
+=
0
до тех пор, пока не будут найдены две точки,
удовлетворяющие условию 0)()(
1
<
+nn
xfxf . Следует лишь отметить, что
шаг поиска h не должен быть слишком велик, чтобы не пропустить два
близко расположенных корня, если, конечно, таковые имеются. В то же
время, шаг h не может быть и очень мал, иначе поиск займет слишком
много времени. Начальная точка поиска
0
x часто выбирается, исходя из
априорной информации о расположении корней уравнения.
Пусть интервал локализации корня найден. Обозначим его как ],[ ba .
Далее итерационный процесс метода половинного деления состоит из
следующих шагов.
1. Вычисляется среднее значение
()
2/bac += аргумента функции
)(
x
f
на отрезке ],[ ba и значение )(c
f
.
2. Если знак )(c
f
совпадает со знаком )(a
f
, то левая граница
интервала локализации корня смещается в точку c, т.е. значению a
присваивается значение c, а значению )(a
f
– значение )(c
f
, и поиск
следующего приближения продолжается с шага 1.
3. Если же знак )(c
f
не совпадает со знаком )(a
f
, то в точку c
смещается правая граница интервала локализации корня, т.е. значению b
присваивается значение c, а значению )(b
f
– значение )(c
f
, после чего
следует возврат к шагу 1.
Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока вычисляемая
на каждой итерации ширина интервала локализации корня не уменьшится
до заданной величины погрешности решения или текущее значение |)(| c
f
не станет меньше заданной малой величины
ε
. В качестве приближенного
значения корня берется последнее вычисленное значение c. Блок-схема
алгоритма половинного деления с первоначально заданным интервалом
локализации корня и выходом из итераций по условию
ε
<|)(| c
f
приведена на рис. 1.4.
Гарантируя сходимость последовательности приближений к
истинному решению, метод половинного деления не обладает высокой
вычислительной эффективностью. Действительно, ширина интервал
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- …
- следующая ›
- последняя »
