Составители:
Рубрика:
6. Структура общего решения
линейного однородного
дифференциального уравнения
Теорема 3
Если y
1
и y
2
– два линейно независимых решения урав-
нения (4), то
y = C
1
y
1
+ C
2
y
2
, (10)
где C
1
и C
2
– произвольные постоянные, является его общим
решением.
Доказательство
Из свойства линейности решений следует, что (10) явля-
ется решением уравнения (4) при любых C
1
и C
2
. Возьмем
какое-либо решение, например, ¯y =¯y(x) с начальными усло-
виями (x
0
, ¯y
0
, ¯y
0
). Подберем значения C
1
и C
2
так, чтобы ре-
шение C
1
y
1
+ C
2
y
2
имело те же самые начальные условия.
Очевидно, что такие C
1
и C
2
определяются из системы урав-
нений
¯y
0
= C
1
y
10
+ C
2
y
20
,
¯y
0
= C
1
y
10
+ C
2
y
20
.
(11)
Здесь y
10
= y
1
x=x
0
, y
20
= y
2
x=x
0
, y
10
= y
1
x=x
0
, y
20
= y
2
x=x
0
.
Определитель системы (11) есть определитель Вронского ре-
шений y
1
и y
2
в точке x
0
, который отличен от нуля в силу
их линейной независимости. Поэтому система (11) имеет ре-
шение. Обозначим его
¯
C
1
и
¯
C
2
. Откуда следует, что реше-
ние
¯
C
1
y
1
+
¯
C
2
y
2
имеет начальные условия, совпадающие с на-
чальными условиями для ¯y. В силу теоремы существования
и единственности эти решения совпадают во всей рассматри-
ваемой области, и ¯y =
¯
C
1
y
1
+
¯
C
2
y
2
.
11
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- …
- следующая ›
- последняя »
