Высшая математика. Дифференциальные уравнения высших порядков. Зингер А.А - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

7. Нахождение второго частного
решения линейного однородного
дифференциального уравнения
второго порядка, линейно
независимого с данным
Теорема 4
Если известно одно частное решение уравнения (4),то
нахождение решения, линейно независимого с данным, сво-
дится к интегрированию функций.
Доказательство
Пусть y
1
– известное частное решение уравнения (4). Его
общее решение выражается формулой y = C
1
y
1
+ C
2
y
2
,гдеy
1
и y
2
линейно независимы, C
1
и C
2
– произвольные постоян-
ные. На основании формулы Лиувилля (7)
y
1
y
2
− y
1
y
2
= C
1
e
− a
1
(x) dx
.
Разделив обе части равенства на y
2
1
, получим
y
1
y
2
− y
1
y
2
y
2
1
=
1
y
2
1
C
1
e
−
a
1
(x) dx
;
y
2
y
1
=
1
y
2
1
C
1
e
−
a
1
(x) dx
;
y
2
y
1
=
1
y
2
1
C
1
e
−
a
1
(x) dx
dx + C
2
.
Положив C
1
=1,C
2
=0, получим
y
2
= y
1
1
y
2
1
e
−
a
1
(x) dx
dx. (12)
12

Страницы