Составители:
Рубрика:
Отсюда следует, что z является решением уравнения (4). Рас-
суждая аналогично теореме о структуре общего решения урав-
нения (4), можно дать формулировку:
Теорема 5
Общее решение уравнения (3) представляется как сумма
какого - либо его частного решения y
∗
и общего решения z
уравнения (4): y = z + y
∗
.
9. Нахождение частного решения
линейного неоднородного
дифференциального уравнения
второго порядка методом
вариации произвольной
постоянной
Запишем общее решение уравнения (4) y = C
1
y
1
+ C
2
y
2
,
где y
1
и y
2
– линейно независимые решения уравнения (4).
Будем искать частное решение y
∗
уравнения (3) в виде
y
∗
= C
1
(x)y
1
+ C
2
(x)y
2
, (13)
где C
1
(x),C
2
(x) – неизвестные функции от x. Найдем произ-
водную от (13): y
∗
= C
1
y
1
+ C
2
y
2
+ C
1
y
1
+ C
2
y
2
и подберем C
1
и C
2
так, чтобы выполнялось
C
1
y
1
+ C
2
y
2
=0. (14)
Тогда
y
∗
= C
1
y
1
+ C
2
y
2
; y
∗
= C
1
y
1
+ C
2
y
2
+ C
1
y
1
+ C
2
y
2
.
Подставляя y
∗
,y
∗
,y
∗
в уравнение (3), получим
C
1
y
1
+C
2
y
2
+C
1
y
1
+C
2
y
2
+a
1
(C
1
y
1
+C
2
y
2
)+a
2
(C
1
y
1
+C
2
y
2
)=f(x),
14
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 12
- 13
- 14
- 15
- 16
- …
- следующая ›
- последняя »
