Высшая математика. Дифференциальные уравнения высших порядков. Зингер А.А - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Пример 5
Решить уравнение y

−
y
x
= x.
Решение
Соответствующие однородное уравнение y

−
y
x
=0.Оче-
видно, что y
1
=1является решением этого уравнения. Вто-
рое частное решение, линейно независимое с данным, опре-
делим по формуле (12)
y
2
=
e
1/x dx
dx =
e
ln x
dx =
xdx=
x
2
2
;
y
∗
= −
x
2
2
xe
−
1/x dx
dx +
x
2
2
xe
−
1/x dx
dx =
= −
x
2
2
dx +
x
2
2
dx = −
x
3
6
+
x
3
2
=
x
3
3
(принимаем произвольную постоянную C =0,таккакищем
любое частное решение). Общее решение: y = C
1
+C
2
x
2
+
1
3
x
3
.
Теорема 6
Решение y
∗
уравнения
y

+ a
1
y
+ a
2
y = λ
2
f
1
(x)+λ
2
f
2
(x)
можно представить в виде суммы y
∗
= λy
∗
1
+ λy
∗
2
,гдеy
∗
1
и y
∗
2
– соответственно решения уравнений
y

+ a
1
y
1
+ a
2
y = f
1
(x) и y

+ a
1
y
1
+ a
2
y = f
2
(x).
16

Страницы