Высшая математика. Дифференциальные уравнения высших порядков. Зингер А.А - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Замечание 5
Пусть y

+a
1
y
+a
2
y = f(x, t) при достаточно общих усло-
виях, если y(x, t) – частное решение, отвечающее f(x, t),и
f(x, t) непрерывна при t = t
0
, то и решение y(x, t) непре-
рывно в t = t
0
. Как следствие, отсюда можно получить, что
правой части f
t
(x, t) отвечает решение y
t
(x, t).
10. Линейные однородные
дифференциальные уравнения с
постоянными коэффициентами
Рассмотрим уравнение
y

+ py
+ qy =0, (17)
где p, q – постоянные действительные числа. Для нахожде-
ния общего решения уравнения (17) достаточно знать два
его линейно независимых частных решения.
Будем искать частное решение в виде y = e
kx
, k – посто-
янная. Тогда y
= ke
kx
,аy

= k
2
e
kx
. Подставим y,y
,y

в
уравнение (17), получим e
kx
(k
2
+ pk + q)=0.Таккакe
kx
=0,
то
k
2
+ pk + q =0. (18)
Уравнение (18) называется характеристическим уравнением
для уравнения (17). Функция e
kx
будет решением уравнения
(17) в том и только в том случае, когда k – корень характери-
стического уравнения. Так как (18) – квадратное уравнение,
то оно имеет два корня: k
1
и k
2
. Возможны три случая:
а) k
1
и k
2
– различные действительные числа;
б) k
1
= k
2
действительные;
17

Страницы