Высшая математика. Дифференциальные уравнения высших порядков. Зингер А.А - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

в) k
1
и k
2
комплексные числа.
Рассмотрим эти случаи.
10.1. Случай различных действительных
корней характеристического уравнения
y
1
= e
k
1
x
,y
2
= e
k
2
x
– два линейно независимых частных
решения, так как
y
2
y
1
=
e
k
2
x
e
k
1
x
= e
(k
2
−k
1
)x
=const. Общее реше-
ние уравнения (18) имеет вид y = C
1
e
k
1
x
+ C
2
e
k
2
x
,гдеC
1
,C
2
– произвольные постоянные.
Пример 6
Решить уравнение y

− 2y
− 3y =0.
Решение
Характеристическое уравнение k
2
−2k−3=0имеет корни
k
1
= −1,k
2
=3. Общее решение: y = C
1
e
−x
+ C
2
e
3x
.
10.2. Случай равных действительных
корней характеристического уравнения
Так как k
1
= k
2
, то имеем одно частное решение y
1
= e
k
1
x
.
Второе частное решение, линейно независимое с данным, по-
лучим по формуле (12)
y
2
= e
k
1
x
e
−2k
1
x
e
−
pdx
dx =
= e
k
1
x
e
(−2k
1
−p)x
dx = e
k
1
x
dx = xe
k
1
x
,
так как k
1
= −
p
2
и −2k
1
− p =0. Общее решение имеет вид
y = C
1
e
k
1
x
+ C
2
xe
k
1
x
= e
k
1
x
(C
1
+ C
2
x),
18

Страницы