Высшая математика. Дифференциальные уравнения высших порядков. Зингер А.А - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

где C
1
,C
2
– произвольные постоянные.
Пример 7
Решить уравнение y

+2y
+ y =0.
Решение
Корни характеристического уравнения k
2
+2k +1=0;
k
1
= k
2
= −1. Решение: y = e
−x
(C
1
+ C
2
x).
10.3. Случай комплексных корней
характеристического уравнения
Корни характеристического уравнения k
1,2
= α ± βi. Ли-
нейно независимые частные решения уравнения y
1
= e
(α+βi)x
,
y
1
= e
(α−βi)x
. Очевидно, что если какая-либо комплексная
функция действительного переменного y = u(x)+v(x)i удо-
влетворяет уравнению (17), то ему удовлетворяют функции
u(x) и v(x), т.е. эти функции являются решениями уравнения
(17). На основании формул Эйлера перепишем y
1
и y
2
в виде
y
1
= e
αx
(cos βx + i sin βx)=e
αx
cos βx + ie
αx
sin βx;
y
2
= e
αx
(cos βx − i sin βx)=e
αx
cos βx − ie
αx
sin βx.
Следовательно, действительные функции
y
1
= e
αx
cos βx,
y
2
= e
αx
sin βx являются частными решениями уравнения
(17), причем они линейно независимы, так как
y
2
y
1
=tgβx =const.
Общее решение уравнения (17) имеет вид
y = C
1
y
1
+ C
2
y
2
= C
1
e
αx
cos βx + C
2
e
αx
sin βx
или
y = e
αx
(C
1
cos βx + C
2
sin βx),
19

Страницы