Составители:
Рубрика:
C
1
, C
2
– произвольные постоянные. Если α =0,тоk
1,2
= ±βx,
то
y = C
1
cos βx + C
2
sin βx.
Пример 8
Найти общее решение уравнения y
+4y
+13y =0.
Решение
Характеристическое уравнение k
2
+4k +13 = 0; k
1,2
=
−2 ± 3i;
y = e
−2x
(C
1
cos 3x + C
2
sin 3x).
Замечание 6
Если известны n линейно независимых решений линейно-
го однородного дифференциального однородного уравнения
n-го порядка с постоянными коэффициентами, y
1
,...,y
n
y
(n)
+ a
1
y
(n−1)
+ ...+ a
n
y =0,a
1
,a
2
,...,a
n
– постоянные,
(19)
то его общее решение имеет вид
u = C
1
y
1
+ C
2
y
2
+ ...+ C
n
y
n
,
где C
1
,C
2
,...,C
n
– произвольные постоянные. Для нахожде-
ния частных линейно независимых решений уравнения (19)
составляем характеристическое уравнение k
n
+ a
1
k
n−1
+ ...+
a
n
=0, которое имеет n корней:
1) каждому простому корню k характеристического уравне-
ния соответствует решение e
kx
;
2) каждому корню k кратности r соответствует r линейно
независимых решений e
kx
,xe
kx
,...,x
r−1
e
kx
;
20
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 18
- 19
- 20
- 21
- 22
- …
- следующая ›
- последняя »
