Высшая математика. Дифференциальные уравнения высших порядков. Зингер А.А - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Замечание 4
Для завершения доказательства отметить необходимость
рассмотрения в обратном порядке.
Пример 4
Найти общее решение уравнения xy

+2y
+ xy =0, если
известно, что y
1
=
sin x
x
– его частное решение.
Решение
Согласно (12), вычислим
y
2
=
sin x
x
x
2
sin
2
x
e
−
2
x
dx
dx =
sin x
x
x
2
sin
2
x
e
− ln(x
2
)
dx =
=
sin x
x
x
2
sin
2
x
dx
x
2
= −
sin x
x
·
cos x
sin x
= −
cos x
x
,
y = C
1
sin x
x
+ C
2
cos x
x
.
8. Линейные неоднородные
дифференциальные уравнения
высших порядков. Структура
общего решения
Рассмотрим уравнение (3). Обозначим через y
∗
какое-либо
частное решение уравнения (3) и положим y = z + y
∗
.Тогда
(z + y
∗
)

+ a
1
(z + y
∗
)
+ a
2
(z + y
∗
)=f(x),
откуда
z

+ a
1
z
+ a
2
z + y
∗

+ a
1
y
∗
+ a
2
y
∗
= f(x).
13

Страницы