Составители:
Рубрика:
11.2. Специальные случаи
11.2.1. Правая часть вида f(x)=e
tx
Начнем с правой части f(x)=e
tx
. Уравнение (20) примет
вид
y
+ py
+ qy = e
tx
. (23)
1. Пусть корни характеристического уравнения (18) k
1
=
k
2
и t = k
1
,k
2
. Ищем частное решение уравнения (23) в
виде ([1], с. 90–91):
y
∗
= Ae
tx
. (24)
Подставляя (24) в (23), получим
A =
1
t
2
+ pt + q
и
y
∗
=
e
tx
t
2
+ pt + q
=
e
tx
(t − k
1
)(t − k
2
)
. (25)
Пример 10
Найти общее решение уравнения y
− 2y
− 3y = e
4x
.
Решение
k
1
= −1, k
2
=3, t =4. Частное решение
y
∗
=
e
4x
16 − 8 − 3
=
e
4x
5
,
а общее решение y = C
1
e
−x
+ C
2
e
3x
+
1
5
e
4x
.
2. Пусть k
1
= k
2
= −
p
2
= t. В этом случае получаем
y
∗
=
e
tx
t +
p
2
2
.
23
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 21
- 22
- 23
- 24
- 25
- …
- следующая ›
- последняя »
