Составители:
Рубрика:
11.2.2. Правая часть вида f(x)=P
n
(x)e
tx
Пусть f(x)=x
n
e
tx
; n – натуральное. В этом случае част-
ное решение уравнения (20) можно получить, дифференци-
руя n раз (25) по t. Подставим y
∗
в (23):
(y
∗
)
+ p(y
∗
)
+ qy
∗
= e
tx
. (26)
Продифференцировав обе части (26) по t и учитывая, что
(y
)
t
=(y
t
)
, (y
)
t
=(y
t
)
, получим
(y
∗
t
)
+ p(y
∗
t
)
+ q(y
∗
t
)
= xe
tx
, (27)
т.е. y
∗
t
является решением уравнения
y
+ py
+ qy = xe
tx
. (28)
Аналогично n-я производная от y
∗
по t – решение уравнения
(20) с правой частью f(x)=x
n
e
tx
.
Если f(x)=e
tx
(a
0
+ a
1
x + ...+ a
n
x
n
), то его частное ре-
шение определяется на основании теоремы 6 из решений, от-
вечающих каждому слагаемому правой части.
Замечание 7
Для удобства дифференцирования y
∗
можно записать
y
∗
=
e
tx
t
2
+ pt + q
=
e
tx
(k
1
− k
2
)(t − k
1
)
+
e
tx
(k
2
− k
1
)(t − k
2
)
.
Пример 14
Найти частное решение уравнения
y
− 3y
+2y = e
3x
(x
2
+ x).
26
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 24
- 25
- 26
- 27
- 28
- …
- следующая ›
- последняя »
