Высшая математика. Дифференциальные уравнения высших порядков. Зингер А.А - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Пример 3
Решить уравнение y

= a
2
y.
Решение
Положим y
= p(y)=p; y

= p
p; p
p = a
2
y;
p
dp
dy
= a
2
ydy; pdp= a
2
ydy; p
2
= a
2
y
2
+C
1
; p = ±
a
2
y
2
+ C
1
;
y
±
a
2
y
2
+ C
1
;
dy
a
2
y
2
+ C
1
= ±dx;
1
a
ln |ay +
a
2
y
2
+ C
1
| = C
2
± x.
2. Линейные дифференциальные
уравнения высших порядков
Линейным дифференциальным уравнением n-го порядка
называется уравнение, приводящееся к виду:
y
(n)
+ a
1
y
(n−1)
+ ...+ a
n
y = f(x),
где a
1
= a
1
(x),...,a
n
= a
n
(x) – коэффициенты; f(x) – свобод-
ный член, непрерывные функции в некоторой области. Если
f(x) ≡ 0, то уравнение называется линейным однородным.
Рассмотрим линейные уравнения второго порядка
y

+ a
1
y
+ a
2
y = f(x). (3)
Начнем с линейного однородного уравнения второго порядка
y

+ a
1
y
+ a
2
y =0. (4)
Решения этого уравнения обладают свойством линейности:
1. Если y
1
и y
2
– два частных решения уравнения (4),то
y
1
+ y
2
также являются решением этого уравнения;
6

Страницы