Составители:
Рубрика:
Найдем производную определителя Вронского
W
(y
1
,y
2
)=y
1
y
2
− y
1
y
2
+ y
1
y
2
− y
1
y
2
= y
1
y
2
− y
1
y
2
и (5) примет вид
W
+ a
1
W =0. (6)
Его решение:
W = Ce
−
a
1
dx
. (7)
Формула (7) называется формулой Лиувилля. Здесь
a
1
dx
– любая первообразная. Выберем в качестве первообразной
x
x
0
a
1
(t) dt,гдеx
0
– произвольная точка из области опреде-
ления y
1
и y
2
.ТогдаW
y
1
(x
0
),y
2
(x
0
)
= W
0
= C
здесь
y(x
0
)=y
x=x
0
, откуда
W = W
0
e
−
x
x
0
a
1
(t) dt
. (8)
Получили формулу Лиувилля при начальных условиях
W
x=x
0
= W
0
.
Теорема 1
Если определитель Вронского W (y
1
,y
2
), составленный для
решений y
1
и y
2
уравнения (4) с непрерывными коэффициен-
тами a
1
и a
2
, не равен нулю при каком-либо x
0
∈ [a, b],тоон
не обращается в нуль ни при каком значении x ∈ [a, b].
Доказательство
Положим в формуле Лиувилля x
0
, в которой W
0
=0.
Тогда
W = W
0
e
x
x
0
a(t) dt
=0
8
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- …
- следующая ›
- последняя »
