Высшая математика. Дифференциальные уравнения первого порядка. Зингер А.А - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Тогда xy
+ y =0– уравнение с разделяющимися пере-
менными:
dy
y
= −
dx
x
, ln |y| =ln|C|−ln |x|.
y =
c
x
– общее решение уравнения.
Пример 7
Ранее было введено уравнение y
= ky или
dy
y
= kx.Его
общее решение ln |y| = kx +ln|C| или y = Ce
kx
.
4.2. Однородные дифференциальные
уравнения первого порядка
Определение 4
Однородным дифференциальным уравнением первого
порядка называется уравнение, приводящееся к виду
y
= g
y
x
. (7)
Для его решения введем вспомогательную функцию z =
y
x
,
откуда y = zx, y
= z
x + z. Уравнение (7) примет вид z
x +
z = g(z); z
x = g(z) − z, xdz =
g(z) − z
dx. Разделив
переменные, получим
dz
g(z) − z
=
dx
x
;
dz
g(z) − z
=ln|Cx|
– общий интеграл. В первообразной z следует заменить на
y
x
.
Пример 8
Решить уравнение y
=
x + y
x − y
.
10

Страницы