Высшая математика. Дифференциальные уравнения первого порядка. Зингер А.А - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

xy
); OM =
x
2
+ y
2
; ON = y −xy
, y −xy
=
x
2
+ y
2
.Раз-
делив обе части уравнения на x,получимy
=
y
x
−
1+
y
x
2
– однородное уравнение. Положим y = ux; y
= u
x + u,
u
x + u = u −
√
1+u
2
;
du
√
1+u
2
= −
dx
x
;
ln |u +
√
1+u
2
| =ln|C|−ln |x|; u +
√
1+u
2
=
C
x
;
y
x
+
1+
y
x
2
=
C
x
; y +
x
2
+ y
2
= C;
x
2
+ y
2
=(C − y)
2
; x
2
= C(C − 2y).
Определим C из условия y
x=0
=1. Из значения C =0и
C =2удовлетворяет второе, так как при C =0получаем
x =0– уравнение оси ординат.
Искомое частное решение имеет вид x
2
=4(1−y) – пара-
бола с вершиной в точке A(0, 1), y 1.
Однородные уравнения первого порядка связаны с поня-
тием однородной функции.
Определение 5
Функция f(x, y) называется однородной функцией степени
k по переменным x и y, если для произвольного α выполня-
ется условие f(αx, αy)=α
k
f(x, y). Покажем, что уравнение
вида
P (x, y)dx + Q(x, y)dy =0, (8)
где P (x, y) и Q(x, y) – однородные функции одной степени,
является однородным. Положим
α =
1
x
12

Страницы