Высшая математика. Дифференциальные уравнения первого порядка. Зингер А.А - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

и воспользуемся однородностью одинаковой степени функ-
ций P и Q:
P
1,
y
x
=
1
x
k
P (x, y),Q
1,
y
x
=
1
x
k
Q(x, y),
P (x, y)=x
k
P
1,
y
x
,Q(x, y)=x
k
Q
1,
y
x
. (9)
Подставив (9) в (8), получим x
k
P
1,
y
x
+ x
k
Q(x,
y
x
)=0,или
y
= g
y
x
, где обозначено
g
y
x
= −
P
1,
y
x
Q
1,
y
x
.
Очевидно, что g
y
x
– однородная функция нулевой степени.
4.3. Линейные дифференциальные
уравнения первого порядка.
Уравнение Бернулли
Определение 6
Линейным дифференциальным уравнением первого по-
рядка называется уравнение, приводящееся к виду
y
+ p(x)y = q(x),
где p(x) и q(x) – непрерывные в некотором промежутке функ-
ции. Если q(x) ≡ 0, то уравнение называется линейным од-
нородным, в противном случае – линейным неоднородным.
Линейное однородное уравнение y
+p(x)y =0является урав-
нением с разделяющимися переменными.
Решение
dy
y
= −p(x)dx, ln |y| = −
p(x) dx +ln| C|
13

Страницы