Высшая математика. Дифференциальные уравнения первого порядка. Зингер А.А - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Окончательно
y =
⎡
⎢
⎣
q(x)e
p(x) dx
dx + C
⎤
⎥
⎦
e
−
p(x) dx
. (12)
Все входящие в эту формулу интегралы – какие-либо любые
первообразные.
Пример 10
Решить линейное уравнение y
− y cos(x)=sin2x.
Решение
Находим решение в виде y = uv, y
= u
v + uv
,
u
v+uv
−uv cos x =sin2x, u
v+u(v
−v cos x)=sin2x. Найдем
v из уравнения v
− v cos x =0;
dv
v
=cosxdx; ln |v| =sinx;
v = e
sin x
;
u
e
sin x
=sin2x, du =sin2xe
− sin x
dx, u =
sin 2xe
− sin x
dx =
=
2sinxe
− sin x
d sin x = −2sinxe
− sin x
+2
e
− sin x
cos xdx=
= −2sinxe
− sin x
− 2e
− sin x
+ C = −2e
− sin x
(sin x +1)+C.
y = Ce
sin x
− 2(sin x +1).
4.3.2. Метод вариации произвольной постоянной
(метод Лагранжа)
Будем искать решение уравнения (11) в виде (10),заме-
нив произвольную постоянную C на неизвестную пока диф-
ференцируемую функцию C(x); y = C(x)
y = C(x)e
−
p(x) dx
. (13)
15

Страницы