Составители:
Рубрика:
Решение
Положим z = y
−1
; z
= −
y
y
2
. Разделим обе части уравне-
ния на y
2
:
y
y
2
+
2x
y
=2x, −z
+2xz =2x, z
−2xz = −2x. По-
ложим z = uv, u
v+uv
−2xuv = −2x, u
v+u(v
−2xv)=−2x,
v
−2xv =0,
dv
v
=2xdx, ln |v| = x
2
, v = e
x
2
, u
e
x
2
= −2x,
du = −2xe
−x
2
dx, u = e
−x
2
+ C,
z =(e
−x
2
+ C)e
x
2
=1+Ce
x
2
; y =
1
1+Ce
x
2
.
4.4. Уравнения в полных дифференциалах.
Интегрирующий множитель
Определение 7
Уравнением в полных дифференциалах называется урав-
нение вида
P (x, y)dx + Q(x, y)dy =0, (16)
если его левая часть является полным дифференциалом неко-
торой функции u(x, y), т.е. уравнение в полных дифференци-
алах может быть записано du(x, y)=0. Если можно найти
такую функцию u(x, y), дифференциал которой равен нулю,
то u(x, y)=C при произвольном допустимом C является об-
щим интегралом уравнения (16).
Для обоснования можно взять функцию z = u(x, y), непре-
рывную в некоторой области D и имеющую в этой области
непрерывные частные производные
∂u
∂x
=
∂u
∂y
. Из равенства
нулю полного дифференциала в D следует, что
∂u
∂x
=0и
∂u
∂y
=0в D.
18
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 16
- 17
- 18
- 19
- 20
- …
- следующая ›
- последняя »
