Высшая математика. Дифференциальные уравнения первого порядка. Зингер А.А - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Доказательство
Если (17) – полный дифференциал, то
P (x, y)=
∂u
∂x
,Q(x, y)=
∂u
∂y
,
следовательно, согласно теореме о смешанной производной,
∂P
∂y
=
∂Q
∂x
. Покажем, что (18) является и достаточным усло-
вием полного дифференциала. Из условия P (x, y)=
∂u
∂x
на-
ходим u(x, y), считая y фиксированным; u =
x
x
0
P (t, y) dt +
ϕ(y).Подберемϕ(y) так, чтобы было
∂u
∂y
= Q(x, y). Исполь-
зуя теорему о дифференцировании определенного интеграла
по параметру, получим ([1], с. 210)
∂u
∂y
=
x
x
0
∂P(t, y)
∂y
dt + ϕ
(y).
Так как
∂P
∂y
=
∂Q
∂x
,то
∂u
∂y
=
x
x
0
∂Q
∂t
dt + ϕ
(y)=Q(x, y);
Q(t, y)
x
x
0
+ϕ
(y)=Q(x, y), откуда
ϕ
(y)=Q(x, y) − Q(t, y)
x
x
0
= Q(x, y) − Q(x, y)+Q(x
0
,y),
ϕ
(y)=Q(x
0
,y); ϕ(y)=
y
y
0
Q(x
0
,s) ds + C
1
. Здесь (x
0
,y
0
) –
точка из области задания уравнения.
Окончательно: u =
x
x
0
P (t, y) dt+
y
y
0
Q(x
0
,s) ds+C
1
.Воз-
вращаясь к уравнению (16), получим его решение
x
x
0
P (t, y) dt +
y
y
0
Q(x
0
,s) ds = C.
20

Страницы