Высшая математика. Дифференциальные уравнения первого порядка. Зингер А.А - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

P
∂µ
∂y
− Q
∂µ
∂x
= µ
∂Q
∂x
−
∂P
∂y
(предполагается дифференцируемость функций P, Q и µ).
Разделив обе части на µ, получим
P
∂ ln µ
∂y
− Q
∂ ln µ
∂x
=
∂Q
∂x
−
∂P
∂y
.
Найти µ из этого уравнения можно только в некоторых част-
ных случаях. Рассмотрим случай, когда µ = µ(y).Тогда
∂ ln µ
∂x
=0,и
∂ ln µ
∂y
=
1
P
∂Q
∂x
−
∂P
∂y
. Интегрируя, находим
ln µ при условии, что правая часть не зависит от x.Анало-
гично рассматривается случай µ = µ(x).
Пример 13
Решить уравнение (y + xy
2
)dx − xdy =0.
Решение
∂P
∂y
=1+2xy,
∂Q
∂x
= −1,
∂P
∂y
=
∂Q
∂x
. Будем искать µ =
µ(y):
∂ ln µ
∂y
=
−1 − 1 − 2xy
y + xy
2
=
−2(1 + xy)
y(1 + xy)
= −
2
y
, ln µ = −2ln|y|,
µ =
1
y
2
,
1+xy
y
dx −
x
y
2
dy =0
– уравнение в полных дифференциалах. Его общий интеграл:
x
y
+
x
2
2
= C.
22

Страницы