Составители:
Рубрика:
5. Геометрический смысл
дифференциального уравнения и
его решения
Пусть y = ϕ(x) – решение уравнения (1), удовлетворя-
ющее начальным условиям y
x=x
0
= y
0
. Геометрически оно
представляет собой кривую, проходящую через точку (x
0
,y
0
) ∈
D. Эта кривая называется интегральной кривой. Через каж-
дую точку области D проходит интегральная кривая, при-
чем единственная (теорема 1). Возьмем какую-либо точку
(x
1
,y
1
) ∈ D. Из уравнения (1) определим
y
(x
1
)=f(x
1
,y
1
). (19)
Эта величина является угловым коэффициентом касатель-
ной к кривой y = ϕ(x) в точке x = x
1
. Таким образом, (19)
позволяет определить направление касательной к решению
уравнения (1) в каждой его точке. Говорят также, что (1) за-
дает поле направлений в открытой области D. Геометрически
задача решения дифференциального уравнения заключается
в нахождении кривых, направление касательных к которым
совпадает с направлением поля в соответствующих точках.
6. Понятие особых решений.
Огибающая семейства кривых
Определение 8
Решение
y = ϕ(x) (20)
уравнения (1) называется особым, если в каждой его точке
нарушается свойство единственности, т.е. через каждую его
23
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 21
- 22
- 23
- 24
- 25
- …
- следующая ›
- последняя »
