Составители:
Рубрика:
точку (x
0
,y
0
), кроме этого решения, проходит и другое ре-
шение, имеющее в точке (x
0
,y
0
) ту же касательную, что и
решение (20), но не совпадающее с ним в сколь угодно малой
окрестности точки (x
0
,y
0
).
Пусть дано уравнение семейства кривых (2), зависящее
от параметра C, принимающего различные значения. При
каждом значении параметра уравнение (2) определяет неко-
торую кривую на плоскости. Придавая C всевозможные зна-
чения, получим семейство кривых, зависящих от одного па-
раметра.
Определение 9
Линия L называется огибающей однопараметрического се-
мейства кривых, если она в каждой своей точке касается
кривой семейства, причем в различных точках касается раз-
личных кривых семейства. Найдем уравнение огибающей.
Предположим, что семейство кривых (2) имеет огибающую,
уравнение которой y = ψ(x),гдеψ(x) – дифференцируемая
функция. Пусть точка M(x, y) лежит на огибающей. Значит,
она лежит на некоторой кривой семейства (2). Этой кри-
вой соответствует определенное значение параметра C,ко-
торое для данных (x, y) определяется из уравнения (2): C =
C(x, y). Следовательно, для всех точек огибающей
Φ
x, y, C(x, y)
=0. (21)
Предположим, что C(x, y) дифференцируема и не постоян-
на ни на одном множестве, содержащемся в D. Из (21) най-
дем угловой коэффициент касательной к огибающей в точке
M(x, y). Продифференцируем (21) по x, считая что y – функ-
ция от x: Φ
x
+Φ
c
C
x
+(Φ
y
+Φ
c
C
y
)y
=0или Φ
x
+Φ
y
y
+Φ
c
(C
x
+
C
y
y
)=0.ТаккакC на каждой кривой постоянна, оста-
ется для определения углового коэффициента касательной
Φ
x
+Φ
y
y
=0. Предположим, что Φ
y
=0(в противном случае
аргумент и функцию поменяем местами). Так как огибающая
24
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 22
- 23
- 24
- 25
- 26
- …
- следующая ›
- последняя »
