Составители:
Рубрика:
Замечание 9
Условие (18) называется признаком полного дифференциа-
ла. Для уравнения (16) необходимо проверить выполнимость
(18). В случае его выполнения решение проводится по ука-
занной выше схеме.
Пример 12
Решить уравнение (3x
2
+6xy
2
)dx +(6x
2
y +4y
3
)dy =0.
Решение
Проверим выполнимость признака (18):
∂P
∂y
=12xy,
∂Q
∂x
=12xy,
∂P
∂y
=
∂Q
∂x
,
u =
(3x
2
+6xy
2
) dx + ϕ(y)=x
3
+3x
2
y
2
+ ϕ(y),
∂u
∂y
=6x
2
y + ϕ
(y)=6x
2
y +4y
3
,
ϕ
(y)=4y
3
,ϕ(y)=y
4
+ C
1
,u= x
3
+3x
2
y
2
+ y
4
+ C
1
.
Решение уравнения: x
3
+3x
2
y
2
+ y
4
= C.
Если левая часть (16) не является полным дифференциа-
лом, то в некоторых случаях удается подобрать такую функ-
цию µ(x, y), после умножения на которую левая часть урав-
нения становится полным дифференциалом. Общее решение
полученного уравнения совпадает с общим решением иско-
мого. Функция µ(x, y) называется интегрирующим множи-
телем. Умножим обе части уравнения (16) на µ(x, y):
µ(x, y)P (x, y)dx + µ(x, y)Q(x, y)dy =0.
Для того чтобы левая часть этого уравнения была полным
дифференциалом, необходимо и достаточно, чтобы выполня-
лось
∂(Pµ)
∂y
=
∂(Qµ)
∂x
,µ
∂P
∂y
+ P
∂µ
∂y
= µ
∂Q
∂x
+ Q
∂µ
∂x
21
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 19
- 20
- 21
- 22
- 23
- …
- следующая ›
- последняя »
