Составители:
Рубрика:
задачи Коши y = ϕ(x)
y
x=x
0
= y
0
. Подставим его в (1) и
проинтегрируем на интервале (x
0
,x),
x
x
0
y
dx =
x
x
0
f
x, ϕ(x)
dx,
y − y
0
=
x
x
0
f
x, ϕ(x)
dx, y = y
0
+
x
x
0
f
x, ϕ(x)
dx. Первый
шаг: положим y = y
0
, y
1
(x)=y
0
+
x
x
0
f
x, y
0
dx, второй шаг:
y = y
1
, y
2
(x)=y
0
+
x
x
0
f
x, y
1
(x)
dx. Этот процесс можно
продолжать неограниченно. При достаточно общих условиях
он оказывается сходящимся, и в пределе получается y = ϕ(x).
Если остановиться на k-м шаге, то y
k
можно принять за
приближенное решение уравнения (1), причем точность тем
выше, чем больше k.
7.2. Метод Эйлера
Рассмотрим уравнение (1) на отрезке [x
0
,b] ∈ D с началь-
ными условиями (x
0
,y
0
). Разделим отрезок [x
0
,b] точками
x
0
,x
1
,...,x
n
= b на n равных частей (x
0
<x
1
< ... < b) и
обозначим x
1
− x
0
= x
2
− x
1
= ... = x
n
− x
n−1
= h. Иначе
h =
b − x
0
n
.Пустьy = ϕ(x) – решение уравнения (1), (ϕ(x) –
непрерывная функция). Тогда y
0
= ϕ(x
0
), y
1
= ϕ(x
1
),...,y
n
=
ϕ(x
n
). Выберем h настолько малым, чтобы значение y в про-
межутке (x
0
,x
1
) мало отличалось от y
0
. Тогда в этом интер-
вале можно участок кривой заменить отрезком касательной
в точке (x
0
,y
0
) y ≈ y
0
+(x−x
0
)y
0
или y ≈ y
0
+(x−x
0
)f(x
0
,y
0
).
Для точки x
1
имеем y
1
= y
0
+ hy
0
,гдеy
0
= f(x
0
,y
0
). Анало-
гично y
2
= y
1
+ hy
1
, где y
1
= f(x
0
,y
0
). Продолжая процесс,
получим y
k+1
= y
k
+ hy
k
,гдеy
k
= f(x
k
,y
k
). Схему Эйлера
27
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 25
- 26
- 27
- 28
- 29
- …
- следующая ›
- последняя »
