Составители:
Рубрика:
этого решение в виде ряда Тейлора. Сумма конечного чис-
ла первых членов этого ряда будет приближенно равняться
искомому решению задачи Коши.
Требуется найти решение уравнения (1), удовлетворяю-
щее начальным условиям y
x=x
0
= y
0
. Допустим, что решение
y = ϕ(x) существует и представимо в виде ряда Тейлора
y = ϕ(x)=ϕ(x
0
)+ϕ
(x
0
)
(x − x
0
)
1!
+ϕ
(x
0
)
(x − x
0
)
2
2!
+.... (26)
Требуется найти коэффициенты этого ряда. Из (26) опре-
деляем ϕ(x
0
)=y
x=x
0
= y
0
. Из уравнения (1) определяем
ϕ
(x
0
)=y
x=x
0
= f(x
0
,y
0
). Дифференцируя обе части уравне-
ния (1) по x, получим в предположении существования тре-
буемых производных
y
= f
x
(x, y)+f
y
(x, y)y
, (27)
откуда найдем ϕ
(x
0
)=y
x=x
0
. Продолжив дифференци-
рование (27), будем находить последующие коэффициенты
ϕ
(x
0
), ϕ
(4)
(x
0
) и т.д.
Пример 16
Найти три первых отличных от нуля члена разложения в
степенной ряд (ряд Тейлора) решения y = ϕ(x) уравнения
y
=2e
y
+ xy, y
x=0
=0.
Решение
y = ϕ(x)=ϕ(0) + ϕ
(0)
x
1!
+ ϕ
(0)
x
2
2!
+ ϕ
(0)
x
3
3!
+ ...,
ϕ(0) = y
x=0
=0,ϕ
(0) = y
x=0
=2,
y
=2e
y
y
+ y + xy
,
30
