Высшая математика. Дифференциальные уравнения первого порядка. Зингер А.А - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Рассмотрим задачу нахождения частного решения урав-
нения, удовлетворяющего условиям: при заданных x
0
и y
0
y(x
0
)=y
0
. Эти условия называются начальными, а задача
нахождения такого решения – задачей Коши.
Пусть в некоторой области D плоскости xOy задано урав-
нение
y
= f(x, y). (1)
Имеет место теорема:
Теорема 1 (существования и единственности)
Если f(x, y) в открытой области D непрерывна и имеет
непрерывную частную производную f
y
, то для любой точки
(x
0
,y
0
) из области D найдется решение y = ϕ(x) уравнения
(1), для которого (x
0
,y
0
) является начальными условиями, и
такое решение единственно.
Геометрически это означает, что через каждую точку (x
0
,y
0
)
области D проходит кривая, описываемая уравнением y =
ϕ(x), и эта кривая единственная. Теорему примем без дока-
зательства.
3. Восстановление
дифференциального уравнения по
его общему решению
Пусть задано семейство кривых
Φ(x, y, C)=0. (2)
Будем считать, что при каждом фиксированном C
y = ϕ(x, C). (3)
В предположении, что Φ(x, y, C) дифференцируема по x
и y, продифференцируем (2) по x.
6

Страницы