Составители:
Рубрика:
Полученное разложение (4) показывает, что интегрирование
рациональных функций сводится к интегрированию много-
членов и простейших.
5.1.2. Интегрирование простейших
Поскольку корни многочлена могут быть действительны-
ми или комплексными, простыми или кратными, то всего
имеется четыре типа простейших:
1
x − b
,
1
(x − b)
k
,
1
x − (α + iβ)
,
1
[x − (α + iβ)]
k
,
b ∈ R,α+ iβ ∈ C,β=0,k∈ N,k>1.
Интегрирование двух первых типов, отвечающих действи-
тельным корням знаменателя, никаких дополнительных труд-
ностей не вызывает, так как интегралы относятся к таблич-
ным. Рассмотрим подробнее третий и четвертый типы. Здесь,
очевидно, требуется рассматривать интегрирование комплекс-
нозначных функций. По определению, если f(x)=u(x)+
iv(x),гдеu(x), v(x) – действительные функции, то
f(x) dx =
u(x) dx + i
v(x) dx,
при этом подразумевается, что в правой части к первооб-
разным добавляется произвольная комплексная константа.
Имея это в виду,
dx
x − (α + iβ)
=
x − (α − iβ)
(x − α)
2
+ β
2
dx =
=
x − α
(x − α)
2
+ β
2
dx + i
β
(x − α)
2
+ β
2
dx =
=
1
2
ln
(x − α)
2
+ β
2
+ i arctg
x − α
β
+ C
1
+ iC
2
.
20
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 18
- 19
- 20
- 21
- 22
- …
- следующая ›
- последняя »
