Составители:
Рубрика:
тогда
R (cos x, sin x) dx =
R
2t
1+t
2
,
1 − t
2
1+t
2
2 dt
1+t
2
.
Очевидно, что подынтегральная функция есть рациональ-
ная функция аргумента t, к интегрированию которой приме-
нимы изложенные выше способы. Однако эта замена, явля-
ющаяся универсальной, приводит иногда к сложным вычис-
лениям. В некоторых случаях цель может быть достигнута
более простым способом.
В случае, когда R(sin x, cos x) содержит sin x и cos x в
четных степенях, целесообразнее замена
t =tgx или x =
arctg t:
sin x =
tg x
1+tg
2
x
=
t
√
1+t
2
,
cos x =
1
1+tg
2
x
=
1
√
1+t
2
,
dx =
dt
1+t
2
.
Пример 19
Найти интегралы
dx
sin x
dx и
dx
cos x
dx.
Решение
Положим t =tg
x
2
, dx =
2 dt
1+t
2
, sin x =
2t
1+t
2
.Тогда
dx
sin x
dx =
dt
t
=lnt + C =lntg
x
2
+ C,
dx
cos x
dx =
d
x +
π
2
sin
x +
π
2
dx =lntg
x
2
+
π
4
+ C.
Пример 20
Вычислим интеграл
dx
cos x +2sinx +3
.
25
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 23
- 24
- 25
- 26
- 27
- …
- следующая ›
- последняя »
