Составители:
Рубрика:
Очевидно, что когда x меняется от a до b, S(x),какфунк-
ция от x меняется от 0 до S(b). Вычислим производную S(x).
По определению (берем ∆x>0)
S
(x) = lim
∆x→0
S(x +∆x) −S(x)
∆x
= lim
∆x→0
∆S(x)
∆x
.
обозначим через m и M соответственно наименьшее и наи-
большее значения f(x) в промежутке [x, x +∆x]. Легко ви-
деть, что площадь ∆S(x) заключена между площадями пря-
моугольников с тем же основанием ∆x и высотами m и M,
т.е.
m∆x ∆S(x) M∆x,
и, следовательно,
m
∆S
∆x
M.
В силу непрерывности f(x) при ∆x → 0, m и M будут стре-
миться к f(x),т.е.S
(x)=f(x).
Поскольку x – произвольная точка промежутка [a, b],то
S(x) является первообразной для f(x) на (a, b).
Масса прямолинейного тонкого стержня
Расположим этот стержень на отрезке [a, b] оси абсцисс.
Выберем произвольную точку x ∈ [a, b] и обозначим массу
отрезка [a, x] через m(x). Очевидно, m(x) меняется от 0 до
m(b). Найдем производную m(x). Возьмем ∆x>0:
m
(x) = lim
∆x→0
m(x +∆x) − m(x)
∆x
= lim
∆x→0
∆m(x)
∆x
,
где
∆m(x)
∆x
является средней плотностью стержня на отрезке
∆x и при ∆x → 0 стремится к плотности массы стержня p(x)
в точке x,т.е.m
(x)=p(x), откуда следует, что m(x) является
первообразной для p(x).
5
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- …
- следующая ›
- последняя »
