Составители:
Рубрика:
1.3. Основные свойства первообразной
1. Существование
Теорема 1
Пусть функция f(x) задана и непрерывна в промежутке
[a, b].Тогдав(a, b) у нее существует первообразная F (x).
Примем эту теорему без доказательства. Вопрос об ее доказа-
тельстве будет рассмотрен в [ 5 ] в §7. Из этой теоремы непо-
средственно следует, что первообразная непрерывной функ-
ции является дифференцируемой и, тем более, непрерывной
функцией.
2. Линейность
Пусть f
1
(x) и f
2
(x) две функции, заданные на [a, b] и F
1
(x) и
F
2
(x), соответственно, их первообразные. Тогда F
1
(x)+F
2
(x)
является первообразной для f
1
(x)+f
2
(x). Действительно,
F
1
(x)=f
1
(x), F
2
(x)=f
2
(x),
(F
1
(x)+F
2
(x))
= F
1
(x)+F
2
(x)=f
1
(x)+f
2
(x).
Отсюда следует требуемое свойство.
Если f(x) имеет первообразную F (x) и λ – некоторое по-
стоянное число, то λF (x) есть первообразная для функции
λf(x). В самом деле, так как F
(x)=f(x),то
(λF (x))
= λF
(x)=λf(x).
3. Множество первообразных для данной функции
Действие дифференцирования является однозначным, т.е.
если у функции имеется производная, то она единственна. С
обратным действием сложнее. Если взять функцию y =0,
то любая константа является ее первообразной, а значит, ес-
ли F (x) есть первообразная для данной функции f(x),то
6
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- …
- следующая ›
- последняя »
