Составители:
Рубрика:
Решение
Положим u = ln x, dv = dx, du =
dx
x
, v = x. Получим
Z
e
1
ln x dx = x ln x
e
1
−
Z
e
1
x ·
1
x
dx = e − x
e
1
= e − e + 1 = 1.
Пример 6
Вычислить интеграл
Z
π
0
e
x
sin x dx.
Решение
Положим u = e
x
, dv = sin s dx, du = e
x
dx, v = −cos x.
Тогда
Z
π
0
e
x
sin x dx = −e
x
cos x
π
0
+
Z
π
0
e
x
cos x dx =
= −e
π
cos π + cos 0 +
Z
π
0
e
x
cos x dx.
Применим к интегралу в правой части снова м етод интегри-
рования по частям, полагая u = e
x
, dv = cos x dx, du = e
x
dx,
v = sin x.
Z
π
0
e
x
cos x dx = e
π
+ 1 + e
x
sin x
π
0
−
Z
π
0
e
x
sin x dx
или
2
Z
π
0
e
x
sin x dx = e
π
+ 1,
откуда
Z
π
0
e
x
sin x dx =
1
2
(e
π
+ 1).
3. Замена переменной в определенном
интеграле
Теорема 2
Рассмотрим
Z
b
a
f(x) dx, где f(x) непрерывна на [a, b]. Вве-
дем новую функцию x = ϕ(t), заданную на [α, β] и удовлетво-
ряющую следующим условиям: 1) ϕ(t) и ϕ
0
(t) непрерывны на
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- …
- следующая ›
- последняя »
