Высшая математика. Определенный интеграл. Зингер А.А - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

[α, β], 2) может быть определена сложная функция f(ϕ(t)), 3)
ϕ(α) = a, ϕ(β) = b. Тогда
Z
b
a
f(x) dx =
Z
β
α
f(ϕ(t))ϕ
0
(t) dt. (4)
Доказательство
Для проверки можно заметить, что если F (x) является
первообразной для f(x), то очевидно F (ϕ(t)) – первообразная
для подынтегральной функции в правой части (4) , значит
Z
β
α
f(ϕ(t))ϕ
0
(t) dx = F (ϕ(β) )−F (ϕ(α)) = F (b)−F (a) =
Z
b
a
f(x) dx.
Пример 7
Вычислить интеграл
Z
4
1
x
√
2 + 4x
dx.
Решение
Положим 2 + 4x = t
2
, x =
t
2
− 2
4
, dx =
t
2
dt, при a = 1,
b = 4, α =
√
6, β =
√
18. Получим
Z
4
1
x
√
2 + 4x
dx =
Z
√
18
√
6
t
2
− 2
4
t dt
2t
=
1
8
Z
√
18
√
6
(t
2
− 2) dt =
=
1
8
t
3
3
− 2t
√
18
√
6
=
3
√
18 −
√
18 −
√
6 +
√
6
4
=
√
18
2
=
3
2
√
2.
Пример 8
Вычислить интеграл
Z
4
3
3
4
dx
x
√
x
2
+ 1
.
Решение
Ранее находили первообразную при помощи подстановки
x = tg t. Положим здесь x = t
−1
, dx = −t
−2
dt, α = 4/3, β =

Страницы