Составители:
Рубрика:
трапеции равна площади прямоугольника с тем же осно-
ванием и высотой, равной f(ε).
6. Аддитивность: при любом взаимном расположении то-
чек a, b, c на отрезке интегрируемости функции f(x).
Z
b
a
f(x) dx =
Z
c
a
f(x) dx +
Z
b
c
f(x) dx.
Действительно, если F (x) обозначает первообразную для
f(x), то
Z
b
a
f(x) dx = F (b) −F (a),
Z
c
a
f(x) dx +
Z
b
c
f(x) dx = F (c) − F (a) + F (b) − F (c) =
= F (b) − F (a).
Свойство аддитивности имеет простой геометрический
смысл: если криволинейную трапецию, построенную на
[a, b], разбить на две части вертикальной прямой, прохо-
дящей через точку c с абсциссой c ∈ [a, b], то площадь
трапеции равна сумме площадей ее частей, то же и для
скалярной величины, распределенной на [a, b].
7. Интегрирование по частям определенного инт еграла: для
функций u(x) и v(x), дифференцируемых на [a , b]
Z
b
a
u(x) dv(x) = u(x )v(x)
b
a
−
Z
b
a
v(x) du(x).
Действительно
Z
b
a
d (u(x)v(x)) =
Z
b
a
u(x) dv(x)+
Z
b
a
v(x) du(x) = u(v)b(x )
b
a
,
откуда и следует требуемое.
Пример 5
Вычислить интеграл
Z
e
1
ln x dx.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- …
- следующая ›
- последняя »
