Составители:
Рубрика:
Доказательство
Рассмотрим сначала случай f(x) ≡ 0. Тогда надо
доказать, что из g(x) > 0 следует
Z
b
a
g(x) dx > 0. Если
G(x) – первообразная для g(x), то из ее монотонности
получим, что
Z
b
a
g(x) dx = G(b) − G (a) > 0 при a 6 b.
В общем случае рассмотрим
Z
b
a
g(x) dx −
Z
b
a
f(x) dx =
Z
b
a
(g( x) − f(x)) dx > 0,
откуда получаем требуемое доказательство.
Допол нение
Если m и M соответственно наименьшее и наиболь-
шее значения f(x) на [a, b], a < b, то
m(b − a) 6
Z
b
a
f(x) dx 6 M(b − a)
или
m 6
1
(b − a)
Z
b
a
f(x) dx 6 M.
Величину, стоящую в средней части, обычно называют
средним значением функции f(x) на промежутке [a, b].
5. Среднее значение.
Теорема 1 (о среднем)
Пусть функция f(x ) непрерывна в промежутке (a, b).
Тогда в этом промежутке находится точка ε, такая, что
Z
b
a
f(x) dx = f(ε)(b − a). (3)
Доказательство
Это получится, если применить формулу Лагранжа
к правой части ( 1). Значение f(ε) является средним зна-
чением f(x) на [a, b ]. Равенство (3) имеет простой геомет-
рический смысл: для f(x) > 0 площадь криволинейной
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- …
- следующая ›
- последняя »
