Высшая математика. Определенный интеграл. Зингер А.А - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

y
x
A B
0
R
а)
б)
x
2
= 2py
y
2
= 2px
0
x
y
2p
M
Рис. 2. Площади а – круга; б – фигуры, ограниченной
параболами y
2
= 2px и x
2
= 2py
S =
Z
R
−R
√
R
2
− x
2
− (−
√
R
2
− x
2
)
dx = 2
Z
R
−R
√
R
2
− x
2
dx.
Возьмем x = R sin t, dx = R cos t dt, α = −
π
2
, β =
π
2
.
S = 2
Z
π
2
−
π
2
R
2
cos
2
t dt = R
2
Z
π
2
−
π
2
(1 + cos 2t) dt =
= R
2
t
π
2
−
π
2
+
R
2
2
sin 2t
π
2
−
π
2
= R
2
π.
Пример 10
Определить площадь фигуры, заключенной между пара-
болами y
2
= 2px и x
2
= 2py (рис. 2,б ).
Реше ни е
Обозначим f(x) =
x
2
2p
, g(x) =
√
2px. Найдем абсцисси то-
чек пересечения парабол, решив уравнение f(x) = g(x), полу-
чим x = 0 и x = 2p.
S =
Z
2p
0
p
2px −
x
2
2p
dx =
p
2p
2
3
x
3
2
−
x
3
6p
2p
0
=
=
2
3
· 4p
2
−
8
6
p
2
=
4
3
p
2
.

Страницы