Высшая математика. Определенный интеграл. Зингер А.А - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Аналогично можно определить площадь радиально правиль-
ной области, расположенной между лучами (в полярной систе-
ме координат) ϕ = α, ϕ = β, α < β и двумя линиями r = f(ϕ),
r = g(ϕ), f(ϕ) 6 g(ϕ) ( рис. 3,а).
0
а)
x
y
r = f(ϕ)
r = g(ϕ)
β
α
ϕ
∆ϕ
б)
r
0
Рис. 3. П лощадь фигур в полярной системе координат: а –
радиально правильной области, расположенной между лучами;
б – одного витка архимедовой спирали
∆S(ϕ) =
1
2
g
2
(ϕ) − f
2
(ϕ)
∆ϕ, S
0
(ϕ) =
1
2
g
2
(ϕ) − f
2
(ϕ)
,
S(ϕ) =
1
2
Z
ϕ
α
g
2
(v) − f
2
(v)
dv,
S =
1
2
Z
β
α
g
2
(ϕ) − f
2
(ϕ)
dϕ (5)
Пример 11
Найти площадь витка архимедовой спирали r = aϕ (рис.
3,б ).
Решение
Согласно (5), S =
1
2
Z
2π
0
a
2
ϕ
2
dϕ =
a
2
2
ϕ
3
3
2π
0
=
4
3
π
3
a
2
.
Произвольная область может быть разбита на правильные
области и тогда ее площадь будет найдена как сумма площадей
правильных областей (фигур) S = S
1
+ S
2
(рис. 4).

Страницы