Высшая математика. Определенный интеграл. Зингер А.А - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Решение
Выберем ось конуса за ось x, считая начальной точкой
вершину конуса, и используем формулу (7). Уравнение обра-
зующей f(x) =
R
H
x, 0 6 x 6 H,
V = π
Z
H
0
R
H
x
2
dx =
πR
2
H
2
x
3
3
H
0
=
1
3
πR
2
H.
Пример 15
Найти объем тела, ограниченного плоскостями x = 1, x =
3, если площадь его поперечного сечения S(x) обратно пропор-
циональна квадрату расстояния сечения от начала координат,
а при x = 2 равна 27.
Решение
S(x) =
k
x
2
, 27 =
k
4
, k = 108.
V =
Z
3
1
108
x
2
dx = −
108
x
3
1
= −36 + 108 = 72.
5.3. Вычисление длин дуг плоских кривых
Рассмотрим дугу кривой, являющейся графиком y = f(x)
на [a, b]. Предполагаем, что f(x) имеет непрерывную произ-
водную на ( a, b). Обозначим длину дуги, отвечающей проме-
жутку [a, x] через l(x). Приращение ∆l длины дуги, отвечает
промежутку x, x + ∆x (можно считать ∆x > 0). При ∆x → 0
величина ∆l эквивалентна
p
∆x
2
+ ∆y
2
(∆y, как и прежде –
приращение функции) и значит
dl
dx
= lim
∆x→0
∆l
∆x
= lim
∆x→0
p
∆x
2
+ ∆y
2
∆x
= lim
∆x→0
s
1 +
∆y
∆x
2
=
=
p
1 + (f
0
(x))
2
.
Таким образом, l(x) есть первообразная для
p
1 + (f
0
(x))
2
.
Рассуждая далее, как и ранее, находим, что длина l вычисля-

Страницы