Высшая математика. Определенный интеграл. Зингер А.А - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

x
y
0
h
a
b
A
B
Рис. 7. Поверхность
шарового пояса
Вычислим площадь Q этой по-
верхности. Так же, как в преды-
дущих задачах рассмотрим перемен-
ную площадь, отвечающую промежут-
ку [a, x] и приращение ∆Q(x), отве-
чающее промежутку [x x + ∆x]. Счи-
тая приращение поверхности прибли-
зительно поверхностью усеченного ко-
нуса с образующей ∆l и радиусом
основания f(x) и f(x + ∆x), полу-
чим ∆Q(x) = π (f(x ) + f(x + ∆x)) ∆l,
или
∆Q(x)
∆x
= π (f(x) + f( x + ∆x))
∆l
∆x
, откуда Q
0
(x) =
2πf(x)
∆l
∆x
= 2πf(x)
p
1 + (f
0
(x))
2
. Отсюда следует, что Q(x)
является первообразной для 2πf(x)
p
1 + (f
0
(x))
2
и значит Q =
Z
b
a
2πf(x)
p
1 + (f
0
(x))
2
dx или
Q =
Z
b
a
2πf(x)
p
1 + y
02
dx. (9)
Пример 18
Найти поверхность шарового слоя для шара радиуса R,
если высота шарового слоя h.
Решение
Поверхность шарового слоя получается при вращении ду-
ги AB, отвечающей промежутку [a, b], где h = b − a. Урав-
нение этой дуги (при выбранной системе координат) есть y =
√
R
2
− x
2
на [a, b] (рис. 7). Применим формулу (9). Получим
y
0
= −
x
√
R
2
− x
2
,
p
1 + y
02
=
R
√
R
2
− x
2
.
Тогда Q =
Z
b
a
2π
√
R
2
− x
2
R
√
R
2
− x
2
dx = 2πR(b − a) = 2πRh.

Страницы