Высшая математика. Определенный интеграл. Зингер А.А - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

5.5. Физические приложения определенного
интеграла
Ранее рассматривали выражение пути, пройденного мате-
риальной точкой при прямолинейном движении в виде опре-
деленного интеграла от скорости движения, и выражение мас-
сы тонкого прямолинейного стержня в виде определенного ин-
теграла от линейной плотности распределения массы. Теперь
рассмотрим аналогичным образом работу в поле сил при пря-
молинейном перемещении точки по преодолению действующей
силы.
Пусть в некоторой части плоскости задано поле сил и вы-
бран отрезок AB. Если задать ось, проходящую через AB, и
выбрать на ней систему координат x так, что точка A им е-
ет координату a, а точка B – координату b, то проекцию си-
лы, приложенной в точке x (a < x < b ) отрезка AB, можно
обозначить через f(x). Если через A(x) обозначить работу по
преодолению силы при перемещении из точки A в точку x, то
dA(x)
dx
= f(x), и значит A(x) есть первообразная для f(x), и,
следовательно, (A(a) = 0), A =
Z
b
a
f(x) dx.
Замечание 4
Итак, рассмотрены приложения определенного интеграла
к вычислению пройденного пути, массы, работы. Во всех слу-
чаях получаются сходные результаты: пусть есть интеграл от
скорости, масса – от плотности, работа – от силы. Легко ви-
деть, что таким образом можно выразить “количество” про-
извольной скалярной величины, распределенной по длине как
интеграл от ее “удельной характеристики”.

Страницы